色差與彩度差算法分析

Imatest 與 iQ-Analyzer 等專業影像品質分析軟體，能以客觀、一致且完整的方式評估相機影像品質。然而，我們在實務工作中發現，不同軟體計算色差與彩度差時採用的演算法並不相同。為了建立高效率的自動化影像分析流程，我們透過大量實驗反推各套軟體實際採用的彩度差異演算法。本文將說明兩種演算法的實作方式、核心差異，以及各自的優點與限制。

1. 簡介

ColorChecker® Classic 是由 24 個經過科學校準的色塊組成，涵蓋自然色、彩色、三原色與灰階色。拍攝測試影像時，只要將 ColorChecker 放入畫面，就能以色卡的標準色彩量測值作為參考，將相機輸出與標準值比較，進而評估相機的色彩還原準確度與一致性。

2. ColorChecker 的用途

1. 提供色彩還原與自動白平衡的相機校準標準。
2. 透過 ΔE* 與 ΔC* 量化影像的色彩差異。

3. 色差與彩度差異

利用 ColorChecker 計算影像的色差與彩度差異，可以量化相機的色彩還原準確度。

CIE Lab 色彩空間的設計目標是近似感知均勻，因此廣泛應用於色差計算。在 Lab 空間中，L* 表示明度，a* 表示綠色到紅色的色彩軸，b* 則表示藍色到黃色的色彩軸。

3.1 CIE 1976 標準

總色差 ΔE* 是兩個 Lab 座標之間的歐氏距離：

$$ ΔE_{ab}^* = \sqrt{(L_2^* - L_1^*)^2 + (a_2^* - a_1^*)^2 + (b_2^* - b_1^*)^2} $$

傳統 CIELAB 彩度差異的定義，是兩個彩度座標之間的有號差值：

$$ \Delta C_{ab}^*=C_{ab,2}^*-C_{ab,1}^* =\sqrt{a_2^{*2}+b_2^{*2}}-\sqrt{a_1^{*2}+b_1^{*2}} $$

其中 $C_{ab,i}^*=\sqrt{a_i^{*2}+b_i^{*2}}$。本文將色彩 1 定義為參考值，色彩 2 定義為相機量測值。因此，$\Delta C_{ab}^*<0$ 表示相機彩度低於參考值，$\Delta C_{ab}^*>0$ 則表示彩度高於參考值。若交換參考值與量測值，符號也會隨之反轉。

另一個常用的量是排除明度後的色彩平面距離：

$$ D_{ab}=\sqrt{(\Delta a^*)^2+(\Delta b^*)^2} =\sqrt{(\Delta E_{ab}^*)^2-(\Delta L^*)^2} $$

$D_{ab}$ 與 $\Delta C_{ab}^*$ 並不是同一種統計量。前者是 $a^*b^*$ 平面中的非負歐氏範數，後者則是兩個徑向彩度座標的有號差值。兩者具有以下精確關係：

$$ (\Delta a^*)^2+(\Delta b^*)^2 =(\Delta C_{ab}^*)^2+(\Delta H_{ab}^*)^2, $$

$$ \Delta H_{ab}^*=2\sqrt{C_1^*C_2^*}\sin\left(\frac{\Delta h_{ab}}{2}\right). $$

因此，$|\Delta C_{ab}^*|\leq D_{ab}$。這項差異的本質不只是直角座標與極座標的不同，而是範數與有號徑向座標差值之間的差別。

3.2 CIEDE2000 標準

CIEDE2000 重新設計 ΔE* 公式，以改善色彩空間感知不均勻的問題，主要包含三項改進：

1. 將色差分解為明度、彩度與色相相關分量；
2. 使用隨色彩位置改變的加權因子，平衡各分量的感知影響；
3. 加入旋轉項，修正藍色區域中彩度與色相的交互作用。

CIE LCh 是 Lab 座標的圓柱表示方式，其中 L*、C* 與 h* 分別表示明度、彩度與色相角。彩度是色彩點到中性軸的徑向距離，色相則以四象限角度 $h=\operatorname{atan2}(b^*,a^*)$ 計算。CIE94、CMC 與 CIEDE2000 都以這種彩度—色相分解套用感知加權。完整公式與邊界條件可參考 [CIEDE2000 implementation notes]。

3.3 產業軟體採用的色差演算法

計算 ΔE* 與 ΔC* 的第一步，是將 RGB 色彩空間轉換到 Lab；過程中必須先經過 XYZ 中介色彩空間。若來源與目標色彩空間的參考白點不同，還必須進行色適應轉換，才能得到正確結果。

在我們的實驗設定中，Lab 的參考白點為 D50，而 RGB-to-XYZ 矩陣以 D65 光源為基準，因此計算時需要套用 D65 至 D50 的色適應轉換。

以下以 M1 表示 RGB-to-XYZ 轉換矩陣，以 M2 表示色適應使用的 Bradford 矩陣：

$$ M_1 = \begin{bmatrix} 0.4124564 & 0.3575761 & 0.1804375 \\ 0.2126729 & 0.7151522 & 0.0721750 \\ 0.0193339 & 0.1191920 & 0.9503041 \end{bmatrix} $$

$$ M_2 = \begin{bmatrix} 1.0478112 & 0.0228866 & -0.050127 \\ 0.0295424 & 0.9904844 & -0.017049 \\ -0.009234 & 0.0150436 & 0.7521316 \end{bmatrix} $$

1. Imatest：sRGB ➝ D65 XYZ（M1） ➝ Lab
2. iQ-Analyzer：sRGB ➝ D65 XYZ（M1） ➝ D50 XYZ（M2） ➝ Lab

實驗結果顯示，Imatest 與 iQ-Analyzer 雖然使用相同的 ΔC 名稱，實際計算出的卻是不同的統計量。

Imatest

Imatest 對 ΔC 採用一套應用導向的定義：它計算的是排除明度後的色彩平面距離，而不是傳統 CIELAB 所定義的有號彩度差值。其 CIE 1976 實作為：

$$ \Delta C_{ab,\mathrm{Imatest}}^*=\sqrt{(a_2^*-a_1^*)^2+(b_2^*-b_1^*)^2}. $$

在 CIEDE2000 中，Imatest 移除明度項，保留了彩度項、色相項及兩者的交互作用：

$$ \Delta C_{00,\mathrm{Imatest}}^*= \sqrt{ \left(\frac{\Delta C’}{K_C S_C}\right)^2+ \left(\frac{\Delta H’}{K_H S_H}\right)^2+ R_T\left(\frac{\Delta C’}{K_C S_C}\right) \left(\frac{\Delta H’}{K_H S_H}\right) }. $$

因此，Imatest 計算的是結合彩度與色相誤差的非負量值。Imatest 官方文件也特別說明，這項 ΔC 定義不同於純彩度差異 $\Delta|C^*|$。

iQ-Analyzer

iQ-Analyzer 計算的是兩個彩度座標之間的有號差值：

$$ \Delta C_{ab,\mathrm{iQ}}^*= \sqrt{a_2^{*2}+b_2^{*2}}- \sqrt{a_1^{*2}+b_1^{*2}}. $$

其 CIEDE2000 輸出只保留經感知加權後的有號彩度分量：

$$ \Delta C_{00,\mathrm{iQ}}^*= \frac{\Delta C’}{K_C S_C}. $$

正因為 iQ-Analyzer 計算的是兩個彩度座標的差值，所以結果可能是負值。依照本文採用的「相機量測值減參考值」慣例，負值代表彩度不足，正值代表彩度過高。這個方向資訊可直接用來判斷 saturation gain 或 3D-LUT 的調整方向，而範數無法提供同樣資訊。

這項差異在 CIEDE2000 中仍然很重要。令

$$ x=\frac{\Delta C’}{K_C S_C},\qquad y=\frac{\Delta H’}{K_H S_H}, $$

則 iQ-Analyzer 回報 $x$，Imatest 回報 $\sqrt{x^2+y^2+R_Txy}$。與 CIE 1976 不同，Imatest 的合成量不一定大於 $|x|$。在 CIEDE2000 的藍色旋轉區域（$\bar h’\approx275^\circ$）附近，$R_T$ 可能為負，使交互作用項降低合成結果。例如，當 $R_T=-1.73$、$y=0.866x$ 時：

$$ \sqrt{x^2+0.75x^2-1.498x^2}\approx0.50|x|. $$

因此，兩套工具在某些藍色色對上的比較，可能出現違反直覺的結果。是否真的發生，仍應以實際量測的 Lab 數值驗證，而不能只根據色塊名稱推定。

4. 有號彩度差異的優點

1. 能直接提供調整方向。 在「量測值減參考值」的定義下，負值代表彩度不足，正值代表彩度過高，可直接對應 saturation gain 或 3D-LUT 的調整方向。
2. 較容易用感知語言解釋。 相較於原始 $a^*$、$b^*$ 座標變化，彩度與色相更容易對應「太鮮豔」、「太淡」或「偏色」等描述。
3. 可搭配感知分解。 CIE94、CMC 與 CIEDE2000 都會明確分離明度、彩度與色相相關分量，再依色彩位置套用不同權重。
4. 適合分析系統性偏差。 有號值的平均能揭露全域偏移，標準差或 RMS 則反映誤差分散程度。若 24 個色塊的 $\Delta C$ 都是 $+5$，平均值 $+5$ 會直接指出整體過飽和；若一半為 $+5$、一半為 $-5$，平均為 0、RMS 為 5，則表示誤差隨色塊而異，還需進一步分析它與參考色相的關係。
5. 能提供實用的診斷線索。 彩度或色相分量偏大，可協助優先檢查 saturation／gamut processing，或 CCM、光譜不匹配與白平衡。但這種對應只能作為診斷線索，不能單憑數值唯一判定是哪一個 ISP 模組造成問題。

5. 有號彩度差異的限制

無法看見純色相旋轉

純色相旋轉可能出現 $\Delta C=0$。例如，$(a_1^*,b_1^*)=(20,0)$ 與 $(a_2^*,b_2^*)=(0,20)$ 的彩度相同，因此 $\Delta C_{ab}^*=0$，但實際上：

$$ \sqrt{(\Delta a^*)^2+(\Delta b^*)^2} =\Delta H_{ab}^*\approx28.3. $$

若只回報有號 ΔC，就可能忽略非常嚴重的色相誤差。

中性軸附近的不穩定性

當 $C^*\rightarrow0$ 時，色相未定義，而且 $\partial h/\partial(a,b)$ 約以 $1/C$ 的速度增大。因此，ColorChecker 中性灰色塊的色相角可能主要反映量測雜訊。彩度座標本身仍有定義，但中性軸附近的色相與有號 $\Delta H$ 必須特別處理。

雜訊造成的量值偏差

在一階近似模型中，若 $a^*$ 與 $b^*$ 含有彼此獨立、各向同性、零均值且標準差為 $\sigma$ 的高斯雜訊，量測到的彩度會服從 Rice 分布，其期望值近似為：

$$ E[\hat C]\approx C_{\mathrm{true}}+\frac{\sigma^2}{2C_{\mathrm{true}}} \quad(C_{\mathrm{true}}\gg\sigma), $$

而當真實彩度趨近於零時：

$$ E[\hat C]\rightarrow\sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}} \quad(C_{\mathrm{true}}\rightarrow0). $$

也就是說，雜訊會使量測彩度產生系統性高估，且低彩度色塊受到的影響最明顯。在高 ISO 影像中，這種偏差可能抵銷真實的彩度不足，甚至讓中性色塊出現虛假的正 ΔC。不過，這項分析有其適用條件：RGB 經非線性轉換至 Lab 後，雜訊可能具有相關性、異方差或非高斯特性，因此仍需透過實驗確認。

6. 色彩平面範數的優點與限制

CIE 1976 色彩平面範數 $D_{ab}$ 在所有位置都有明確定義，不會遇到色相角奇異點，而且是 $a^*b^*$ 平面中的真正歐氏度量。在 Lab 空間的加性零均值雜訊模型下，$\Delta a^*$ 與 $\Delta b^*$ 都是線性分量，雜訊傳播也較容易分析。這個範數沒有彩色差異的盲點：只有當 $a^*$ 與 $b^*$ 都完全相同時，結果才會是零。因此，它適合作為單一數值的色彩平面 pass／fail 指標；若明度誤差同樣重要，完整色彩符合性評估仍應使用 ΔE。

它的限制也很明確。非負範數會失去彩度偏差方向，且無法分離彩度與色相相關的誤差。未加權的歐氏範數也不包含 CIE94、CMC 或 CIEDE2000 所採用、隨色彩位置改變的感知修正。此外，CIELAB 只具有近似的感知均勻性，在高彩度與藍紫色區域仍存在已知的非均勻現象。

參考資料

1. ColorChecker reference table: https://xritephoto.com/documents/literature/en/ColorData-1p_EN.pdf
2. Imatest Color/Tone Appendix: https://www.imatest.com/docs/colortone_ref/
3. iQ-Analyzer ColorChecker application: https://www.image-engineering.de/news/product-news/773-the-iq-analyzer-color-bundle
4. The CIEDE2000 Color-Difference Formula: Implementation Notes, Supplementary Test Data, and Mathematical Observations: https://www.ece.rochester.edu/~gsharma/ciede2000/ciede2000noteCRNA.pdf
5. ISO/CIE 11664-6:2022, Colorimetry—Part 6: CIEDE2000 Colour-Difference Formula: https://www.cie.co.at/publications/colorimetry-part-6-ciede2000-colour-difference-formula-1